خانه

فرمول بندی جدید مکانیک کلاسیک 3

قبل از معرفی تابع جدید، ابتدا به طور مختصر فرمول بندی هامیلتون را مرور می کنیم :

در این فرمول بندی " کنش " سیستم به صورت یک functional (تابعی که اعضای دامنه آن یک تابع و برد آن زیر مجموعه ای از مجموعه ی اعداد حقیقی است) با رابطه ی زیر تعریف می شود : 

$$S\ =\ \int_{t_{0}}^{t}\ L\ (x(t^{'}),\dot{x}(t^{'}))\ dt^{'}$$

این functional روی مسیر های مختلف مقادیر مختلف میگرد طوری که روی مسیر واقعی به مینیمم مقدار خود می رسد. حال اگر کنش را فقط روی مسیر واقعی در نظر بگیریم، کنش از حالت functional بودن در می آید و به یک تابع معمولی وابسته به متغییر های t (کران بالای انتگرال) و x (مکان ذره روی مسیر واقعی در زمان t ) تبدیل می شود :

فرمول بندی جدید مکانیک کلاسیک 2

در شماره ی قبل به این نتیجه رسیدیم که تابع حالت سیستم باید به فرم $$\varphi (x,t)\ =\ exp(f(x,t))$$ باشد. اکنون به دنبال تابع $$f(x,t)$$ هستیم. در اولین حدس شاید مناسب باشد که این تابع را به صورت $$f(x,t)= x(t)$$ در نظر بگیریم. یعنی تایع حالت جدید ما تابع نمایی تابع حالت نیوتون باشد. در این صورت عملگر های تکانه و انرژی اگر به صورت زیر بیان شوند، معادله ی ویژه مقداری آنها ارضا میشود :

فرمول بندی جدید مکانیک کلاسیک 1

در این نوشتار سعی داریم فرمول بندی جدیدی برای مکانیک کلاسیک ارایه دهیم که پلی است بین مکانیک کلاسیک و مکانیک کوانتومی.

در فرمول بندی نیوتون حالت دینامیکی سیستم به وسیله ی تابع  $$x(t)$$مشخص می شود که تمام کمیت های دینامیکی دیگر به وسیله ی آن مشخص می شود. برای مثال برای بدست آوردن تکانه ی سیستم باید عملگر $$m\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}$$ روی تابع حالت $$x(t)$$  اثر داد نتیجه تکانه ی سیستم خواهد بود. برای بدست آوردن انرژی کار دیگری را باید انجام دهیم، انرزی سیستم از روی رابطه ی $$\frac{p^{2}}{2m}\ +\ V(x)$$ بدست میاد. در این فرمول بندی  ملاحظه میکنیم که برای انرژی عملگری مستقیم مانند تکانه وجود ندارد که از طریق آن بتوان انرزی را بدست آورد. در فرمول بندی جدید برای هر کمیت دینامیکی عملگری مستقل تعریف میکنیم که اگر روی تابع حالت سیستم اثر کند، مقدار آن کمیت را می دهد. در ضمن تابع حالت سیستم دیگر $$x(t)$$ نمی باشد.