خانه

فرمول بندی جدید مکانیک کلاسیک 3

قبل از معرفی تابع جدید، ابتدا به طور مختصر فرمول بندی هامیلتون را مرور می کنیم :

در این فرمول بندی " کنش " سیستم به صورت یک functional (تابعی که اعضای دامنه آن یک تابع و برد آن زیر مجموعه ای از مجموعه ی اعداد حقیقی است) با رابطه ی زیر تعریف می شود : 

$$S\ =\ \int_{t_{0}}^{t}\ L\ (x(t^{'}),\dot{x}(t^{'}))\ dt^{'}$$

این functional روی مسیر های مختلف مقادیر مختلف میگرد طوری که روی مسیر واقعی به مینیمم مقدار خود می رسد. حال اگر کنش را فقط روی مسیر واقعی در نظر بگیریم، کنش از حالت functional بودن در می آید و به یک تابع معمولی وابسته به متغییر های t (کران بالای انتگرال) و x (مکان ذره روی مسیر واقعی در زمان t ) تبدیل می شود :

 $$S_{classical}(x,t) \ =\ \int_{t_{0}}^{t}\ L\ (x_{classical}(t^{'}),\dot{x}_{classical}(t^{'}))\ dt^{'}$$

از این به بعد برای راحتی اندیس classical را بر میداریم.

می توان ثابت کرد تغییرات کنش (کلاسیکی) نسبت به مکان برابر تکانه است :

$$\frac{\partial S}{\partial x}\ =\ p$$

اکنون اگر کنش را همان تابع $$f(x,t)$$ در نظر بگیریم، مشکلات قبلی حل مشود.

بعد کنش، انرژی در واحد زمان است، ثابت پلانک نیز همین بعد را دارد. از طرفی یکی از بنیادی ترین ثوابت فیزیک می باشد (ثابت هایی که قبلا معرفی کردیم، مانند شعاع اتمی بور ثوابت مستقلی نبودند، ولی ثابت پلانک یک ثابت مستقل است).

پس می توان نوشت :

$$f(x,t)\ =\ \frac{S(x,t)}{\hbar}$$

ولی باز یک مشکل کوچک وجود دارد. با تعریف بالا تابع حالت سیستم به صورت زیر در می آید :

$$\varphi (x,t)\ =\ exp\ (\frac{S(x,t)}{\hbar})$$

تابع حالت فوق یک تابع خوش تعریف نیست، چرا که به ازای x , t هایی که S بزرگ میشود تابع حالت خیلی بزرگ میشود. با گذاشتن یک i پشت S این مشکل نیز حل میشود. چرا که با این کار تابع حالت یک تابع تناوبی میشود.

$$\varphi (x,t)\ =\ exp\ (i\ \frac{S(x,t)}{\hbar})$$

اکنون باید عملگر های تکانه و انرژی را تعریف کنیم. با تعاریف زیر معادلات ویژه مقداری متناظر ارضا می شود :

$$\widehat{P}\ =\ -i\hbar\ \frac{\partial }{\partial x}$$

$$\widehat{H}\ =\ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\ \frac{\partial^2 }{\partial x^2}\ +V(x)$$

اکنون فقط می ماند معادله ای که از طریق آن تابع حالت بدست می آید.

طبق معادله هامیلتون ژاکوبی داریم :

$$\frac{\partial S}{\partial t}\ = -H$$

با توجه به معادله بالا عملگر :

$$i\hbar\ \frac{\partial }{\partial t}$$

با عمگر انرژی که در بالا تعریف کردیم، یکی می شود. پس میتوان نوشت :

$$i\hbar\ \frac{\partial }{\partial t}\ \varphi (x,t)\ = \widehat{H}\ \varphi (x,t)$$

معادله فوق همان معادله ی حاکم بر تابع حالت است.

اکنون اصول مضوعه ی فرمول بندی جدید را به این صورت خلاصه می کنیم :

1- حالت دینامیکی سیستم به وسیله ی تابع $$\varphi(x,t)$$ تعیین میشود.

$$\varphi (x,t)\ =\ exp\ (i\ \frac{S(x,t)}{\hbar})$$

که در آن S کنش سیستم می باشد.

2 - به هر کمیت فیزیکی یک عملگر نسبت می دهیم. که مقدار آن کمیت از طریق رابطه ی زیر بدست می آید :

$$\widehat{A}\ \varphi (x,t)\ =\ A\ \varphi (x,t)$$

در معادله ی بالا A کلاه عملگر متناظر با کمیت A می باشد.

طبق اصل فوق عملگر های تکانه و انرژی به صورت زیر می باشند :

$$\widehat{P}\ =\ -i\hbar\ \frac{\partial }{\partial x}$$

$$\widehat{H}\ =\ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\ \frac{\partial^2 }{\partial x^2}\ +V(x)$$

3 - تابع حالت از طریق معادله ی زیر بدست می آید :

$$i\hbar\ \frac{\partial }{\partial t}\ \varphi (x,t)\ = \widehat{H}\ \varphi (x,t)$$

پایان